દ્વીઅંકી ગણીત - 2

દ્વીઅંકી ગણીત - 2 ચીરાગ પટેલ જુલાઈ 29, 2008

આજે આપણે થોડીક તાર્કીક ગણતરીઓ (logical operations) જોઈશું. શરુઆત કરીએ ઉદાહરણથી. નીચેનું વાક્ય વાંચો અને એમાં જોડાતાં પ્રત્યયની એની સત્યતા પર શું અસર થાય એ વીચારો.

"ક્લાર્ક કેંટ સુપરમૅન છે અથવા પીટર પાર્કર સુપરમૅન છે."

આ વાક્ય એક સંકુલ વાક્ય છે જે "અથવા" પ્રત્યતથી જોડાય છે. જો "ક્લાર્ક કેંટ સુપરમૅન છે" એ સાચું હોય તો પણ આખું વાક્ય સાચું અને "પીટર પાર્કર સુપરમૅન છે" એ સાચું હોય તો પણ આખું વાક્ય સાચું ઠરે. બન્ને ઉપવાક્યો ખોટાં હોય તો જ આખું વાક્ય ખોટું ઠરે. ગાણીતીક રીતે આ બાબત દર્શાવવા માટે સાતત્યતા કોષ્ટક (Truth Table) વપરાય છે. જેમ કે, ઉપરના ઉદાહરણમાં:

A: ક્લાર્ક કેંટ સુપરમૅન છે.
B: પીટર પાર્કર સુપરમૅન છે.
=> A OR B એ ઉદાહરણ સંકુલ વાક્ય થયું. સાચું દર્શાવવા T અને ખોટું દર્શાવવા F વાપરીએ અને શક્યતાઓનો કોષ્ટક બનાવીએ.

. A . B . A OR B
. T . T . . T
. T . F . . T
. F . T . . T
. F . F . . F

એ જ રીતે "અથવા" ને બદલે "અને" પ્રત્યય વાપરીએ તો બન્ને ઉપવાક્યો સાચા હોય તો અને તો જ આખું વાક્ય સાચું ઠરે (પત્ની કે પ્રેમીકા જો "અથવા" શબ્દ વાપરીને વીકલ્પ આપે તો પણ તે શેને પ્રાધાન્ય આપે છે એ જાણી લેવું. નહીંતર બન્ને વીકલ્પો ખોટાં ઠરશે!). એ માટે કોષ્ટક બનાવીએ.

. A . B . A AND B
. T . T .. T
. T . F .. F
. F . T .. F
. F . F .. F

ઈલેક્ટ્રૉનીક્સમાં ઈલેક્ટ્રૉનનાં પ્રવાહને આવાં કોષ્ટક મુજબ નીયંત્રીત કરવા માટે લૉજીક ગેટ (Logic Gate) તરીકે ઓળખાતાં કમ્પોનંટ વપરાય છે. આપણે જ્યાં T વાપર્યાં ત્યાં 1 અને જ્યાં F વાપર્યાં ત્યાં 0 ગણીને સમજીએ (1 એટલે પ્રવાહ વહેવો, અને 0 એટલે પ્રવાહ બન્ધ થવો). નીચેની આકૃતી જુઓ.

input A --->---|-----------|___ output
input B --->---|-- gate -|

જો ઉપરોક્ત આકૃતીમાં ઑર ગેટ (OR gate) કે ઍંડ ગેટ (AND gate) વાપરીએ તો,
. in A . in B . out (OR) out (AND)
. 1 ..... 1 ...... 1 ............. 1
. 1 ..... 0 ...... 1 ............. 0
. 0 ..... 1 ...... 1 ............. 0
. 0 ..... 0 ...... 0 ............. 0

અહીં માત્ર એક બીટનો જ ઈનપુટ અને આઉટપુટ આપણે જોયો. કમ્પ્યુટર જો 32બીટનું હોય તો એકસાથે 32 બીટ પર લૉજીકલ ઑપરેશન થાય, અને એ મુજબ આઉટપુટા આવે. ઘણીવાર ઑર માટે '+' અથવા '|' નું ચીહ્ન વપરાય છે. ઍંડ માટે '.' અથવા '&'નું ચીહ્ન વપરાય છે. 8 બીટનું એક લૉજીકલ ઑપરેશન જોઈએ.

0x75 & 0xF0 = ? (8-4-2-1 પ્રમાણે આ સંખ્યા કેવી રીતે દર્શાવવી એ યાદ છે ને?)

0x75 = 0 1 1 1 0 1 0 1
0xF0 = 1 1 1 1 0 0 0 0
=================
& -----> 0 1 1 1 0 0 0 0 => 0x70

આ પ્રમાણે 8 બીટનાં થોડાં લૉજીકલ ઑપરેશન કરો: 1) 0xBE | 0x91 = ? 2) 0x39 & 0x15 = ?